Eratóstenes: medidas de la tierra

Debemos situarnos hace más de 2200 años .. en el siglo III antes de Cristo. Eratóstenes nació en Libia y trabajó en la biblioteca de Alejandría, donde murió con más de 90 años.

Posiblemente tengamos nuestras primeras referencias a edad temprana, con la famosa Criba de Eratóstenes para la obtención de los primeros números primos. Se puede ver una demostración usando mi software de Matemáticas gMatESO (que permite el aprendizaje de números y fracciones).

En Internet se pueden encontrar muchas explicaciones de cómo midió Eratóstenes el radio de la tierra .. pero la mayoría de esas explicaciones no son entendibles con conocimientos bajos de Matemáticas. Intento aquí explicar de la manera más sencilla posible el procedimiento que usó (espero que sea entendible para todos). Veamos la primera imagen:

En la imagen vemos dos puntos A y B situados en el mismo meridiano (supongamos por ejemplo dos ciudades).
Se puede calcular la distancia entre dichos puntos. Hoy sería muy fácil con los GPS y la tecnología que disponemos. Eratóstenes pagó a una persona para que fuese caminando y contando los pasos con objeto de averiguar la distancia entre ambas ciudades.

Supongamos por un momento que podemos calcular el valor del ángulo que aparece en la imagen. Conociendo el ángulo y la distancia entre A y B, podemos con una sencilla regla de 3 calcular la longitud de toda la circunferencia terrestre:

– Si a tantos grados le corresponde tantos metros de distancia .. a 360 grados (circunferencia completa) le corresponderá la longitud completa de la circunferencia.

Así de sencillo lo hizo Eratóstenes .. aunque hemos supuesto que se conoce el valor del ángulo.

[*¿Cómo calcular el valor del ángulo?*]

Antes de ver la siguiente imagen debemos recordar que dos rectas paralelas cortadas por una secante, producen ángulos iguales.

Ahora estamos en condiciones de observar la siguiente imagen:

Podemos ver claramente que los ángulos y son iguales, pues las rectas que pasan por AA’ y B’F son paralelas. Por tanto nos basta con averiguar el valor del ángulo

– Las rectas anteriores (pintadas de amarillo) son los rayos del sol.
– Los segmentos AA’ y BB’ son varillas que hemos situado verticales en ambas ciudades A y B.
– En la ciudad A los rayos solares caen totalmente perpendiculares (por ejemplo justo en el medio día solar .. que no tiene que coincidir con las 12:00 horas).
– A la misma hora que los rayos caen perpendiculares en A, calculamos la inclinación de los mismos en B (midiendo la sombra de la varilla) .. con ello tenemos calculado el ángulo y resuelto el problema.

[*Cálculos de Eratóstenes*]

El ángulo medido por Eratóstenes fue de 7 grados y la distancia entre A y B fue de 4900 estadios (unos 800 km. de hoy).

Aplicó una regla de 3:

– si a 7 grados corresponden 800 km.
– a 360 grados corresponden X km.

Una vez obtenida la longitud de la circunferencia (cuya ecuación sabemos que es ), podemos calcular el Radio mediante

Sin embargo, no debemos olvidar que en aquella época no se conocía el valor exacto del número .

– Valor real:
– Valor en la época egipcia:
– Valor en el siglo II:
– Valor en 1949 (obtenido con el primer ordenador: ENIAC): los primeros 2037 decimales.

En definitiva, los cálculos de Eratóstenes fueron demasiado exactos para los medios de que disponía.

Si otro día dispongo de tiempo y ganas .. posiblemente publique una ampliación de este artículo, usando algo de trigonometría para hacer algunos cálculos y, lo más interesante, cómo realizar un calculo real sin necesidad de usar el medio día solar (sería una práctica interesante para alumando que se inicia en trigonometría).